効用関数が「凹」だと、なぜリスクを嫌うのか

まず、どこでつまずくのか

教科書には、こう書いてあります。「効用関数が凹（おう、concave）なら、人はリスクを嫌う」。

この一文で、多くの人が止まります。

理由は、知らない言葉が三つ重なっているからです。「効用」「凹」「リスクを嫌う」。どれも日常の会話では使いません。

しかも、三つがどうつながるのかは、たいてい書いてありません。

そこでこの記事では、身近な感覚から出発します。専門用語は、イメージができてから導入します。前提知識はゼロで大丈夫です。

身近な例で考える

財布に千円だけ入っているとします。そこへ千円をもらいます。とても嬉しいはずです。

次に、百万円を持っているとします。そこへ同じ千円をもらいます。嬉しいですが、さっきほどではありません。

金額は、どちらも同じ千円です。でも、感じる嬉しさは違います。

ここで大事な言葉を導入します。効用（こうよう、utility）です。効用とは、手に入れたものから感じる満足の大きさのことです。

お金が増えれば、効用も増えます。ただし、増え方はだんだん小さくなります。手持ちが多いほど、追加の千円のありがたみは薄くなるのです。

満足の『増え方』がだんだん鈍る

この「増え方がだんだん小さくなる」様子を、グラフにしてみます。

横軸にお金、縦軸に満足（効用）をとります。すると線は右上がりになります。お金が増えれば満足も増えるからです。

ただし、まっすぐな線にはなりません。上に向かって、ゆるくカーブします。

最初は急に立ち上がり、右へいくほど寝ていきます。この形を凹（おう、concave）と呼びます。

凹とは、上に曲がって、増え方がだんだん鈍る形のことです。難しい定義は覚えなくてかまいません。「最初は満足がぐんと増え、あとはゆるやかになる線」と思えば十分です。

増えた喜びより、減った不満のほうが大きい

この凹の形には、大事な性質があります。

今、五万円を持っているとします。この手元のお金が、五万円増えるか、五万円減るか、どちらかだと考えます。

五万円増えて十万円になると、満足は増えます。これを「増えた喜び」と呼びます。

五万円減って0円になると、満足は減ります。これを「減った不満」と呼びます。

ここが肝心です。金額はどちらも同じ五万円です。ところが、減った不満のほうが、増えた喜びより大きく感じられます。

理由は、線が凹だからです。手元が少ないところでは線が急なので、減るときの落ち込みが大きくなります。逆に、手元が多いところでは線がゆるいので、増えても満足はあまり伸びません。

経済学ではこう使う：確実と賭けを比べる

ここで、いよいよ「リスクを嫌う」という話につながります。

二つの選択肢を考えます。

• 選択肢A：確実に十万円もらえる。
• 選択肢B：コインを投げて、表なら二十万円、裏なら0円。

もらえる金額の平均は、どちらも十万円です。Bは半々で二十万円か0円なので、平均すると十万円になるからです。

金額の平均が同じなら、どちらを選んでも同じに思えます。でも、満足で比べると違います。

Bの賭けでは、二十万円になったときの喜びより、0円になったときの不満のほうが大きく響きます。線が凹だからです。

そのため、二十万円のときと0円のときの満足を平均すると、確実な十万円の満足より低くなります。

結果として、平均の金額は同じでも、確実なAのほうが満足は高くなります。これがリスク回避（risk aversion）です。賭けより確実を選ぶ心の動きを、こう呼びます。

図で確かめる

この関係は、一枚の図でつかめます。

横軸はお金、縦軸は満足です。線は凹のカーブです。

まず、0円の点と、二十万円の点を、まっすぐな線でつなぎます。この直線のちょうど真ん中の高さが、賭けBの満足の平均です。半々の平均だからです。

一方、確実な十万円の満足は、カーブそのものの上の点です。

カーブは上に膨らんでいます。ですから、カーブ上の点は、直線の真ん中より上にきます。

この「カーブ上の点」と「直線の真ん中」の高さの差が、確実を選んだときの得です。図を見れば、平均の金額が同じでも確実のほうが満足は高い、と一目でわかります。

○×で確認

ここまでの内容を、○×で確かめます。5問すべてに答えてから、次の解説へ進んでください。

○×の解説

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